La multiplication

La multiplication permet de remplacer une addition répétée par une écriture plus courte et plus rapide.

Multiplier, c’est donc additionner plusieurs fois la même quantité.

La multiplication est une opération très utile pour calculer plus vite lorsqu’une même quantité est répétée plusieurs fois.

On peut écrire une multiplication de deux façons : 6 × 4 ou 4 × 6. Dans les deux cas, on obtient le même résultat.

Cela montre que, dans une multiplication, on peut changer l’ordre des nombres sans changer le résultat. C’est la commutativité.

Pour bien multiplier, il faut connaître les doubles et apprendre progressivement les tables de multiplication.

La multiplication posée permet ensuite de calculer des produits plus grands en décomposant le calcul étape par étape.

Exemple :

45 × 7

5 × 7 = 35

40 × 7 = 280

35 + 280 = 315

La multiplication sert donc à compter plus vite, à résoudre des problèmes et à calculer efficacement.

Dans une multiplication, on peut changer l’ordre des facteurs sans modifier le résultat.

Cette propriété est très utile pour calculer plus facilement et mémoriser rapidement les tables.

Calculer un double, c’est multiplier un nombre par 2. Les doubles sont une première étape importante pour construire les tables.

Bien connaître les doubles aide à calculer mentalement plus vite.

Même avec des nombres plus grands, on peut calculer le double en s’aidant de la numération et des retenues.

Cette stratégie prépare au calcul posé.

Les premières tables de multiplication se construisent à partir d’additions répétées et de régularités faciles à repérer.

Les tables de 2, 3, 4 et 5 servent de base pour apprendre les autres.

Les tables de 6 à 9 demandent plus d’entraînement, mais elles s’appuient sur celles déjà connues.

Mémoriser les tables permet de gagner en rapidité et en précision.

Quand on multiplie par 10, 20, 30, 100…, on peut d’abord multiplier par le nombre sans le zéro, puis ajouter le zéro à la fin du résultat.

Cette méthode simplifie beaucoup les calculs.

Avant de calculer exactement, on peut faire une estimation pour vérifier si le résultat sera plausible.

Pour estimer l’ordre de grandeur d’une multiplication, il faut arrondir le nombre le plus grand à la dizaine la plus proche avant d’effectuer le calcul.
Exemple : le résultat de 23 x 6 est proche de celui de 20 x 6.

Calculer un ordre de grandeur avant d'effectuer un calcul posé aide à repérer une erreur de calcul.

Pour poser une multiplication à un chiffre, on multiplie chaque chiffre du nombre du haut par le chiffre du bas, en commençant par les unités.

Exemple :

Pour calculer : 1 945 × 8

👉 La place des retenues peut varier selon les techniques. On peut les écrire à l’extérieur ou dans l’opération.

L’essentiel est de garder un repère clair pour ne pas oublier les retenues.

Quand on multiplie par un nombre à 2 chiffres, on effectue deux multiplications partielles :

• une avec le chiffre des unités ;
• une avec le chiffre des dizaines.

Exemple :

Pour calculer : 1 945 × 78

👉 Il y a 2 étages de retenues :

1. un pour le chiffre des unités → 8 ;
2. un pour le chiffre des dizaines → 7.

⚠️ Il faut bien décaler la deuxième ligne de calcul partiel en écrivant un 0 dans la colonne de droite (les unités).

Quand le multiplicateur se termine par deux zéros, on peut d’abord multiplier les chiffres non nuls, puis ajouter les deux zéros au résultat.

Exemple :

Pour calculer : 1 320 × 600

👉 Il y a 1 étage de retenues, pour le chiffre des centaines → 6.

⚠️ Ne pas tenir compte des zéros finaux pendant le calcul et les rajouter au résultat final, simplifient l’écriture du calcul.

Multiplier par un nombre à 3 chiffres demande d’écrire trois lignes de calculs partiels avant de les additionner.

Exemple :

Pour calculer : 1 325 × 647

👉 Il y a 3 étages de retenues :

1. un pour le chiffre des unités → 7 ;
2. un pour le chiffre des dizaines → 4 ;
3. un pour le chiffre des centaines → 6.

Après avoir estimé l’ordre de grandeur du résultat, poser la multiplication en respectant la position ou le rang de chaque chiffre, puis effectuer les calculs ligne par ligne :

• sur la première : multiplier d’abord par le chiffre des unités en commençant par la droite ;
• sur la deuxième : écrire tout de suite un zéro dans le rang des unités et multiplier par le chiffre des dizaines ;
• sur la troisième : écrire un zéro dans le rang des unités, un autre dans le rang des dizaines et multiplier par le chiffre des centaines.
• Additionner les résultats intermédiaires pour trouver le total en tenant compte des retenues.

⚠️ Il faut bien aligner les chiffres selon leur valeur de position.

Quand le chiffre des dizaines du multiplicateur est 0, la ligne correspondante est nulle. On ne calcule donc que les lignes utiles.

Exemple :

Pour calculer : 1 945 × 708

👉 Il y a 2 étages de retenues :

1. un pour le chiffre des unités → 8 ;
2. un pour le chiffre des centaines → 7.

Après avoir estimé l’ordre de grandeur du résultat, poser la multiplication en respectant la position ou le rang de chaque chiffre, puis effectuer les calculs ligne par ligne :

• sur la première : multiplier d’abord par le chiffre des unités en commençant par la droite ;
• sur la deuxième : le chiffre des dizaines est zéro ; on n’écrit pas une ligne de zéros, donc passer directement aux centaines ;
• sur la troisième : écrire un zéro dans le rang des unités, un zéro dans le rang des dizaines et multiplier par le chiffre des centaines.
• Additionner les résultats intermédiaires pour trouver le total en tenant compte des retenues.

⚠️Le zéro joue ici un rôle important dans l’organisation du calcul.

👉 Multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 revient à déplacer les chiffres vers la gauche → la virgule semble alors se déplacer vers la droite alors qu'elle est toujours après le chiffre des unités.

Exemples :

Pour calculer : 1,32 × 10

1,32 × 10 = 13,2
1,32 × 100 = 132
1,32 × 1 000 = 1 320

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Pour calculer : 1,32 × 300

1,32 × 20 = 1,32 × 2 × 10 = 2,64 × 10 = 26,4
1,32 × 500 = 1,32 × 5 × 100 = 6,60 × 100 = 660
1,32 × 3 000 = 1,32 × 3 × 1 000 = 3,96 × 1 000 = 3 960

⚠️ Il faut comprendre que chaque chiffre change de valeur et devient 10, 100 ou 1000 fois plus grand, par conséquent chaque chiffre se déplace vers la gauche d’un, deux ou trois rangs.

Pour multiplier un nombre décimal par un entier, on calcule d’abord comme s’il n’y avait pas de virgule, puis on replace la virgule dans le résultat.

Exemple :

Pour calculer : 13,25 × 647

👉 Attention : il ne faut pas oublier la virgule au résultat.

La multiplication posée d’un nombre décimal par un entier se réalise comme une multiplication classique entre deux entiers : on effectue le calcul en ignorant la virgule.
Une fois le produit obtenu, on replace la virgule dans le résultat final.
Le nombre de chiffres après la virgule doit être identique à celui du nombre décimal de départ. Ainsi, si ce nombre comporte deux décimales, le résultat final devra lui aussi présenter deux chiffres après la virgule.

⚠️ Le nombre de chiffres après la virgule dans le produit dépend du nombre décimal de départ.

Multiplier par 0,1 ; 0,01 ou 0,001 revient à prendre un dixième, un centième ou un millième du nombre.

La multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 donne un résultat plus petit, car on multiplie le nombre de départ par une valeur inférieure à 1.
Chaque chiffre perd alors de la valeur : il devient 10, 100 ou 1 000 fois plus petit, ce qui entraîne un déplacement vers la droite d’un, deux ou trois rangs.
Autrement dit, on déplace la virgule vers la gauche d’un, deux ou trois rangs, ce qui correspond à l’opération inverse de la multiplication d’un nombre décimal par 10, 100 ou 1000.

Pour multiplier deux nombres décimaux, on effectue d’abord le calcul comme avec des entiers, puis on place la virgule dans le résultat.

Exemple :

Pour calculer : 13,25 × 64,7

👉 Attention : il ne faut pas oublier la virgule dans le produit final.

La multiplication posée de deux nombres décimaux se réalise comme celle de deux entiers : on effectue d’abord le calcul en ignorant complètement la virgule.
Une fois le produit obtenu, on replace la virgule en comptant le total de chiffres situés après la virgule dans les deux nombres de départ.
Le résultat final doit comporter exactement cette somme de décimales.

On vérifie ensuite que le résultat est cohérent avec un ordre de grandeur.