La symétrie

Reconnaître, construire et compléter des figures par symétrie axiale

🎯 Comprendre la symétrie axiale, reconnaître un axe de symétrie, construire l'image d'un point ou d'une figure et compléter une figure par symétrie.

1. Comprendre la symétrie axiale

Deux figures sont symétriques par rapport à un axe si elles se superposent exactement quand on plie la feuille le long de cet axe.

L'axe de symétrie agit comme un miroir : chaque point d'un côté possède une image de l'autre côté.

Papillon avec axe de symétrie

Une figure peut avoir aucun axe, un seul axe, plusieurs axes, ou même une infinité d'axes dans le cas du cercle.

2. Reconnaître deux points symétriques

Le point A' est l'image du point A par symétrie axiale si deux conditions sont respectées.

  • Le segment [AA'] est perpendiculaire à l'axe.
  • Les points A et A' sont à la même distance de l'axe.
Points symétriques à la même distance de l'axe
Construction de points symétriques sur quadrillage

Si un point est situé sur l'axe, son symétrique est le point lui-même : il ne bouge pas au pliage.

3. Construire le symétrique d'un segment

Pour construire le symétrique du segment [AB], on place d'abord les symétriques des extrémités.

  1. Je construis A', symétrique de A.
  2. Je construis B', symétrique de B.
  3. Je trace le segment [A'B'].
Symétrique d'un segment
Symétrique d'un segment avec une extrémité sur l'axe

Les segments symétriques [AB] et [A'B'] ont la même longueur.

4. Construire le symétrique d'une figure sur quadrillage

Pour construire l'image d'une figure, on construit l'image de chacun de ses sommets, puis on relie les points images dans le même ordre.

Sur un quadrillage, on compte les carreaux depuis le point jusqu'à l'axe, puis on reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté.

Construction d'une figure symétrique sur quadrillage

Une symétrie inverse l'orientation de la figure comme dans un miroir, mais elle conserve les longueurs.

5. Compléter une figure par symétrie

Quand une moitié de figure est déjà donnée, on peut compléter l'autre moitié par symétrie. On place les points images, puis on relie les points.

Figure à compléter par symétrie
Figure complétée par symétrie

Il faut vérifier que chaque sommet image est à la même distance de l'axe que le sommet de départ.

6. Respecter aussi les couleurs et les frises

Dans certaines figures, la symétrie ne concerne pas seulement le contour. Le coloriage doit aussi être symétrique.

Coloriage symétrique correct
Frise construite par symétrie

Dans une frise, le même motif peut être répété ou retourné par rapport à plusieurs axes.

7. Utiliser deux axes de symétrie

On peut parfois construire l'image d'une figure par rapport à un premier axe, puis recommencer par rapport à un second axe.

Symétrie avec un axe rouge puis un axe vert
Animation symétrie avec un axe rouge puis un axe vert

Il faut toujours préciser l'axe utilisé : l'image n'est pas placée au même endroit selon que l'on utilise l'axe rouge ou l'axe vert.

8. Reconnaître un axe dans différentes figures

Pour reconnaître un axe de symétrie, on imagine un pliage. Les deux parties doivent se superposer parfaitement.

Axes de symétrie dans des panneaux
Plusieurs figures avec axes proposés

Un axe proposé n'est pas forcément un axe de symétrie : il faut toujours vérifier par pliage mental.

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Symétrie axiale

Deux figures sont symétriques par rapport à un axe si elles se superposent exactement quand on plie la feuille le long de cet axe.

Points symétriques

  • Le segment [AA'] est perpendiculaire à l'axe.
  • Les points A et A' sont à la même distance de l'axe.
  • L'axe coupe [AA'] en son milieu.
  • Si un point est sur l'axe, son symétrique est lui-même.

Symétrique d'un segment

  1. Je place A', image de A.
  2. Je place B', image de B.
  3. Je trace [A'B'].

Construire une figure

  1. Je repère les sommets.
  2. Je compte les carreaux ou je reporte les distances à l'axe.
  3. Je place les points images.
  4. Je relie les points images dans le même ordre.

Axes de symétrie

  • Un rectangle non carré a 2 axes de symétrie.
  • Un carré a 4 axes de symétrie.
  • Un triangle isocèle a 1 axe de symétrie.
  • Un parallélogramme quelconque n'a pas d'axe de symétrie.
  • Un cercle a une infinité d'axes de symétrie.

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Matériel didactique

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