La soustraction

La soustraction permet de calculer ce qu’il reste quand on enlève une quantité à une autre.

Dans ce type de problème, on connaît :

• la quantité du départ,
• la quantité retirée,
• et on cherche ce qu’il reste.

La soustraction sert donc à répondre à la question : Combien reste-t-il ?

La soustraction peut aussi servir à calculer ce qui manque pour atteindre une quantité.

Situation de la vie quotidienne :

Dans une boîte, il devrait y avoir 26 feutres. On n’en compte plus que 17.
Combien manque-t-il de feutres ?

17 − ? = 26

Cette addition à trou correspond à la soustraction :
26 − 17 = ?

La soustraction permet aussi de comparer deux quantités et de calculer un écart, une différence.

Situation de la vie quotidienne :

Noah a 15 images et Inès en a 9.
Combien Noah a-t-il d’images de plus qu’Inès ?

15 − 9 = 6

On peut poser la même situation autrement :

• Combien Noah a-t-il de plus qu’Inès ?
• Combien Inès a-t-elle de moins que Noah ?

Dans les deux cas, on cherche la différence entre deux quantités.

La soustraction permet parfois de retrouver ce qui a été ajouté.

Situation de la vie quotidienne :

Dans une tirelire, il y avait 120 €. Maintenant, il y a 190 €.
Combien a-t-on ajouté ?

190 − 120 = 70

La soustraction permet aussi de retrouver ce qui a été retiré.

Situation de la vie quotidienne :

Une boîte contenait 24 biscuits. Il n’en reste plus que 15.
Combien de biscuits ont été retirés ?

24 − 15 = 9

La soustraction peut enfin aider à retrouver la quantité de départ.

Situation de la vie quotidienne :

Après avoir donné 8 cartes à un camarade, Malo en a encore 17.
Combien de cartes avait-il au début ?

? − 8 = 17 → 17 + 8 = 25

Pour résoudre ce type de problème, on réfléchit au lien entre addition et soustraction.

Quand on pose une soustraction, on écrit :

• le plus grand nombre en haut,
• le second nombre en dessous,
• en alignant les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines sous les centaines.

Exemple :

78 − 15

Comme 8 est plus grand que 5 et 7 est plus grand que 1, on peut soustraire sans retenue.

On calcule toujours de la droite vers la gauche, en commençant par les unités.

Avant de calculer, on peut déjà estimer le résultat :

78 − 15, c’est proche de 80 − 20, donc le résultat sera proche de 60.

Quand le chiffre du haut est plus petit que celui du bas dans une même colonne, on ne peut pas soustraire directement. Il faut utiliser une retenue.

Pour calculer : 1 096 − 568 =

👉 Bien vérifier que le nombre le plus grand est placé en haut et bien aligner le chiffre des unités.

On utilise la retenue quand le chiffre du haut est inférieur au chiffre situé en dessous dans la même colonne.

👉 Il existe deux sortes de retenues :

1. En haut, la retenue est à gauche du chiffre, elle se lit.
2. En bas, la retenue est à droite du chiffre et précédée d’un +, elle s’ajoute à ce chiffre.
3. Les retenues vont toujours par paires : une en ^haut et une en _bas.

Dans la méthode par cassage, on transforme une dizaine en 10 unités, ou une centaine en 10 dizaines, pour pouvoir poursuivre le calcul.

• 6 − 8 👉 « C’est impossible. J’ajoute donc mes 2 retenues _{+ 1} et ¹. »
• Maintenant je peux dire : 16 − 8 👉 « égale 8. »
• Ensuite, 9 − 7 (6 + ma retenue), c’est possible 👉 « cela fait 2. »
• 0 − 5 👉 « C’est impossible. J’ajoute donc mes 2 retenues _{+ 1} et ¹. »
• Maintenant je peux dire : 10 − 5 👉 « égale 5. »
• Enfin, 1 − 1 👉 « égale 0. »
• « Le résultat est donc 528. »

1 096 − 568 = 528

💡 Autre exemple

Pour calculer : 1 197 − 568 =

1 197 − 568 = 629

Avant de calculer, j’évalue toujours l’ordre de grandeur du résultat.

Pour calculer : 1 197 − 568 👉 j’arrondis les nombres : 1 200 − 600 ≈ 600

Dans la méthode classique, on peut comprendre la retenue comme une façon de conserver l’écart entre les deux nombres.

La différence entre les deux nombres reste la même. La méthode classique et la méthode par cassage conduisent donc au même résultat.

L’important est de bien comprendre la technique choisie et de toujours respecter l’alignement des chiffres.

Quand je pose la soustraction, je n’oublie pas d’aligner les chiffres de même classe en m’aidant de la réglure du cahier.

Je n’oublie pas les retenues qui vont toujours par paires.

On peut vérifier son calcul en effectuant l’addition inverse :
568 + 629 = 1 197

Pour soustraire des nombres décimaux, la technique est identique à celle des nombres entiers.

La seule grande vigilance consiste à bien aligner les virgules.

Situation de la vie quotidienne :

J’ai 9,50 €. J’achète pour 2,60 €, puis pour 4 €, puis pour 1 €.
Combien me reste-t-il ?

Pour calculer la monnaie ou ce qu’il reste, on peut avoir besoin d’une soustraction avec des décimaux.

On peut d'abord calculer le total des dépenses : 2,60 + 4 + 1 = 7,60€

Puis calculer ce qui reste de l'argent de départ : 9,50 - 7,60 = ?

Il reste 1,90€.

Pour calculer : 102,6 − 5,28 =

👉 Bien vérifier que le nombre le plus grand est placé en haut et bien aligner le chiffre des unités et donc les virgules.

Comme pour les nombres entiers, on utilise la retenue quand le chiffre du haut est inférieur au chiffre du dessous dans la même colonne.

👉 Il existe deux sortes de retenues :

1. En haut, la retenue est à gauche du chiffre, elle se lit.
2. En bas, la retenue est à droite du chiffre et précédée d’un +, elle s’ajoute à ce chiffre.
3. Les retenues vont toujours par paires : une en ^haut et une en _bas.

1. Compléter le nombre du haut avec un zéro dans les centièmes.
2. Ensuite, la technique est identique à une soustraction de nombres entiers.
3. 0 − 8, c’est impossible, alors j’ajoute mes retenues.
4. Je peux maintenant soustraire les centièmes : 10 − 8 = 2.
5. Je peux aussi soustraire les chiffres dans la colonne des dixièmes : 6 − 3 (ma retenue + 2) = 3.
6. Pour pouvoir soustraire les unités, je fais appel aux retenues : 12 − 5 = 7.
7. Idem pour les dizaines : 10 − 1 = 9.
8. Enfin, pour les centaines : 1 − 1 = 0.

102,6 − 5,28 = 97,32

Dans la méthode classique avec des décimaux, on raisonne comme avec les entiers, mais on respecte très soigneusement l’alignement.

Je n’oublie pas les retenues par paires et la virgule du résultat.

Quand je pose la soustraction, je n’oublie pas d’aligner les chiffres (et donc les virgules) de même classe.

💡 Autre exemple

Pour calculer : 119,7 − 56,8 =

119,7 − 56,8 = 62,9

Avant de calculer, j’évalue l’ordre de grandeur du résultat.

Pour calculer : 102,6 − 5,28 👉 j’arrondis les nombres : 100 − 5 ≈ 95

On peut vérifier son calcul en effectuant l’addition inverse :
5,28 + 97,32 = 102,60 = 102,6